Основные свойства числовых рядов. Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения Основные свойства числовых рядов
1. Если сходится а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=, то сходится и ряд а m+1 +а m+2 +а m+3 +…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.
2 . Если ряд а 1 +а 2 +а 3 +… сходится и его сумма равна S, то ряд Са 1 +Са 2 +…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.
3. Если ряды а 1 +а 2 +… и b 1 +b 2 +… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а 1 +b 1)+(а 2 +b 2)+(а 3 +b 3)+… и (а 1 -b 1)+(а 2 -b 2)+(а 3 -b 3)+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.
4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).
- необходимый признак (условие) сходимости ряда .
б).
Если
то ряд расходящийся –достаточное
условие
расходимости
ряда
.
-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.
Знакоположительные ряды.
Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.
1. Первый признак сравнения.
Пусть даны два знакоположительных ряда а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=(1) иb 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…=(2).
Если члены ряда (1) не больше b n и ряд (2) сходится , то и ряд (1) также сходится.
Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. а n b n и ряд (2) расходится , то и ряд (1) также расходится.
Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.
2. Второй признак сравнения.
Если
существует конечный и отличный от нуля
предел
,
то оба ряда сходятся или расходятся
одновременно.
-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.
3. Признак Даламбера.
Если
для знакоположительного ряда
(а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=)
существует
(1),
то ряд сходится, если q<1,
расходится, если
q>
4. Признак Коши радикальный.
Если
для знакоположительного ряда существует
предел
(2),
то ряд сходится, еслиq<1,
расходится, если
q>1.
Если
q=1
то вопрос остается открытым.
5. Признак Коши интегральный.
Вспомним несобственные интегралы.
Если
существует предел
.
Это есть несобственный интеграл и
обозначается
.
Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.
Пусть ряд а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=- знакоположительный ряд.
Обозначим a n =f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Если ряд конечен, то он сходится.
Очень
часто встречаются ряды
-ряд
Дерихле
.
Он сходится, если p>1,
расходится p<1.
Гармонический ряд является рядом Дерихле
при р=1.
Сходимость
и расходимость данного ряда легко
доказать с помощью интегрального
признака Коши.
Рассмотрим бесконечную последовательность чисел , т.е. множество чисел, в котором каждому натуральному числу n по определённому правилу соответствует некоторое число a n . Выражение вида называется числовым рядом , сами числа - членами ряда , - общим членом ряда . Коротко ряд записывают так: .
Суммы , в которых присутствуют только n первых членов ряда, называются частичными суммами ряда .
Числовой ряд называется сходящимся , если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел . Число S называется суммой ряда .
Если предел не существует, то ряд называется расходящимся .
Пример 1. Дана бесконечная геометрическая прогрессия . Составим ряд
и исследуем его на сходимость, исходя из определения сходимости ряда. Для этого составим частичную сумму =. Из школьного курса математики известно, что . Напомним, как это получается. Для доказательства произведём деление
Вычислим теперь предел , учитывая, что здесь возможны три случая:
2) если q = 1, то =и ,
3) если q = -1, то =, и , а = , и . Значит, последовательность частичных сумм единого предела не имеет.
Поэтому делаем вывод: геометрическая прогрессия сходится, если и расходится при .
Пример 2. Доказать расходимостьряда
Решение. Оценим частичную сумму ряда:
> , т.е. > ,
а предел частичной суммы равен бесконечности (по известной теореме о пределах: если x n > y n , то ): = ¥. Значит, данный ряд расходится.
Свойства сходящихся рядов
Рассмотрим два ряда и . Второй ряд получен из первого путём отбрасывания первых m его членов. Этот ряд называется остатком ряда и обозначается r n .
Теорема 1 . Если члены сходящегося ряда умножить на некоторое число С , то сходимость ряда не нарушится, а сумма умножится на С .
Теорема 2 . Два сходящихся ряда можно почленно складывать (вычитать) и сумма полученного ряда будет равна , где - сумма первого ряда, а - сумма второго.
Теорема 3 . Если сходится ряд, то сходится любой из его остатков. Из сходимости остатка ряда следует сходимость самого ряда.
Можно сказать и по-другому: на сходимость ряда не влияет отбрасывание (или приписывание) конечного число членов ряда. И это свойство самое замечательное. Действительно, пусть сумма ряда равна бесконечности (ряд расходится). Мы складываем очень большое, но конечное число членов ряда. Эта сумма может быть очень большим, но, опять же, конечным числом. Так, значит, сумма остатка ряда, а там члены ряда уже ничтожно малые числа, всё равно равна бесконечности за счёт бесконечности числа слагаемых.
Теорема 4 . Необходимый признак сходимости.
Если ряд сходится, то его общий член a n стремится к нулю, т.е. .
Доказательство . Действительно,
И если ряд сходится, то и , а значит, при .
Отметим, что этот признак не является достаточным, т.е. ряд может расходиться, а его общий член стремится к нулю. В примере 2 ряд расходится, хотя его общий член .
Но если а n не стремится к нулю при , то ряд является расходящимся (достаточный признак расходимости ряда ).
Сходимость рядов с положительными членами
Ряд называется положительным , если все .
Частичные суммы такого ряда S n образуют возрастающую последовательность, так как каждая предыдущая меньше следующей, т.е. . Из теории пределов известно (теорема Больцано-Вейерштрасса), что если возрастающая последовательность ограничена сверху (т.е. для всех S n существует такое число М , что S n < М для всех n ), то она имеет предел. Отсюда следует следующая теорема.
Теорема . Ряд с положительными членами сходится, если частичные суммы его ограничены сверху, и расходится в противном случае.
На этом свойстве основаны все достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами . Рассмотрим основные из них.
Признак сравнения
Рассмотрим два ряда с неотрицательными членами: - (3) и - (4), причём , начиная с некоторого n . Тогда из сходимости ряда (4) следует сходимость ряда (3). А из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда (4).
Иначе: если сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими членами; если расходится ряд с меньшими членами, то расходится и ряд с б?льшими членами.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Общий член ряда , а ряд есть бесконечная сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем < 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.
Признак сравнения в предельной форме
Рассмотрим два ряда и , и пусть , - конечное число. Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Пример.
Решение . Выберем ряд для сравнения, выяснив для этого, как ведёт себя общий член ряда при больших n :
Т.е. ~ , и в качестве ряда сравнения берём ряд , который расходится, что было показано ранее.
Вычислим предел
и значит, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. данный ряд тоже расходится.
Признак Даламбера
Пусть дан ряд и существует предел . Тогда, если l < 1, то ряд сходится, если l > 1, то ряд расходится, если l = 1, то этот признак ответа не даёт (т.е. необходимо дополнительное исследование).
Пример. Исследовать на сходимость ряд (напомним, что , т.е. n -факториал есть произведение всех целых чисел от 1 до n ).
Решение. Для этого ряда , (для нахождения нужно в вместо n подставить n + 1). Вычислим предел
и так как предел меньше 1, данный ряд сходится.
Радикальный признак Коши
Пусть дан ряд и существует предел . Если l < 1, то ряд сходится, если l > 1, то ряд расходится, если l = 1, то этот признак ответа не даёт (необходимо дополнительное исследование).
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Общий член ряда . Вычислим предел . Значит, ряд сходится.
Интегральный признак Коши
Рассмотрим ряд , и предположим, что на промежутке х Î существует непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция такая, что , n = 1, 2, 3… . Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Отметим, что если дан ряд то и функция рассматривается на промежутке .
Напомним, что указанный несобственный интеграл называется сходящимся , если существует конечный предел , и тогда =. Если при не имеет конечного предела, то говорят, что несобственный интеграл расходится .
Пример. Рассмотрим ряд - обобщённый гармонический ряд или ряд Дирихле с показателем степени s . Если s = 1, то ряд называют гармоническим рядом .
Исследуем данный ряд, используя интегральный признак Коши: =, и функция =обладает всеми свойствами, указанными в признаке. Вычислим несобственный интеграл .
Возможны три случая:
1) s < 1, и тогда
интеграл расходится.
2) при s = 1
интеграл расходится.
3) если s > 1, то
интеграл сходится.
Вывод . Обобщенный гармонический ряд сходится, если s > 1, и расходится, если s ≤ 1.
Этот ряд часто используют для сравнения с другими рядами, содержащими степени n .
Пример. Исследовать ряд на сходимость.
Решение. Для этого ряда ~ =, значит, данный ряд сравниваем с рядом , который сходится, как ряд Дирихле с показателем степени s = 2 > 1.
По признаку сравнения в предельной форме находим предел отношения общих членов данного ряда и ряда Дирихле:
Следовательно, данный ряд тоже сходится.
Рекомендации по использованию признаков сходимости
Прежде всего, следует воспользоваться необходимым признаком сходимости ряда и вычислить предел общего члена ряда при . Если , то ряд заведомо расходится, а если , то следует воспользоваться одним из достаточных признаков.
Признаки сравнения полезно использовать в тех случаях, когда путём преобразований выражения для общего члена ряда удаётся перейти от исходного ряда к ряду, сходимость (или расходимость) которого известна. В частности, если содержит только степени n и не содержит никакие другие функции, это всегда можно сделать.
Признаки сравнения применяют тогда, когда исходный ряд можно сопоставить с обобщённым гармоническим рядом или рядом, составленным из членов бесконечной геометрической прогрессии.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:
Поэтому, если в числителе стоит какая-то из этих функций, а в знаменателе - функция левее её, то, скорее всего, ряд расходится, и наоборот.
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
Определение 1.1 . Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида
Числа называются членами ряда , - общим или n-м членом ряда.
Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру
Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где - сумма первых членов ряда, которая называется n -й частичной суммой , т.е.
…………………………….
…………………………….
Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:
1) иметь конечный предел;
2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).
Определение 1.2 . Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т.е.
В этом случае число называется суммой ряда (1.1) и обозначается
Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.
Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.
Основные свойства числовых рядов
Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т.е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся), для которых, как показал Риман Георг Фридрих Бернхард, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.
Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида
Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:
С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:
Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.
Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.
Доказательство теоремы следует из того, что, и если
S - сумма ряда (1.1), то
Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при, то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) однако он расходится.
Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).
Если общий член ряда не стремится к нулю при, то этот ряд расходится.
Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).
Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.
Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т.е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c - некоторое число, тогда
Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства
Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е. если ряды,
сходятся,
сходится и его сумма равна т.е.
Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т.е.
Признак сравнения
Пусть даны два положительных ряда
и выполняются условия для всех n=1,2,…
Тогда: 1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);
2) из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).
Доказательство . 1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В, т.е.
Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т.е. ряд (3.1) сходится.
2. Пусть ряд (3.1) расходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.
Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.
Признак Даламбера
Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;
2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;
Замечание: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда
Признак Коши
Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;
2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;
3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.
Интегральный признак Коши - Маклорена
Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке
Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
1.Числовые ряды: основные понятия, необходимые условия сходимости ряда. Остаток ряда.
2.Ряды с положительными членами и признаки их сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши.
3. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.
1. Определение числового ряда. Сходимость
В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
Определение 1.1 . Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида
. (1.1)
Числа называютсячленами ряда , –общим или n–м членом ряда.
Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления-го члена ряда по его номеру
Пример 1.1 . Пусть . Ряд
(1.2)
называется гармоническим рядом .
Пример 1.2 . Пусть ,Ряд
(1.3)
называется обобщенным гармоническим рядом . В частном случае при получается гармонический ряд.
Пример 1.3 . Пусть =. Ряд
называется рядом геометрической прогрессии .
Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где – суммапервых членов ряда, которая называетсяn -й частичной суммой , т. е.
…………………………….
…………………………….
Числовая последовательность при неограниченном возрастании номераможет:
1) иметь конечный предел;
2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).
Определение 1.2 . Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.
В этом случае число называетсясуммой ряда (1.1) и пишется
Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.
Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.4. Доказать, что ряд
сходится, и найти его сумму.
Найдем n-ю частичную сумму данного ряда .
Общий член ряда представим в виде.
Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:
Пример 1.5 . Исследовать на сходимость ряд
Для этого ряда
. Следовательно, данный ряд расходится.
Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.
2. Основные свойства числовых рядов
Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман* , меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.
Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)
Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:
С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:
Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.
Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.
Доказательство теоремы следует из того, что , и если
S – сумма ряда (1.1), то
Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2)однако, как будет показано ниже, он расходится.
Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).
Если общий член ряда не стремится к нулю при, то этот ряд расходится.
Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд
.
Для этого ряда
Следовательно, данный ряд расходится.
Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, что для них не выполняется необходимый признак сходимости.Для ряда (1.6) пределдля ряда (1.7) пределне существует.
Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).
Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.
Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c – некоторое число, тогда
Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства
Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды ,
сходятся,
сходится и его сумма равна т. е.
.
Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т. е.
Основные определения
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.
При этом числа будем называть членами ряда, а un - общим членом ряда.
Определение. Суммы, n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда - предел последовательности его частных сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда и, где С - постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C 0)
3) Рассмотрим два ряда и. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + .
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р - целое число, выполнялось бы неравенство:
Доказательство. (необходимость)
Пусть, тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство
выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство. Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому, как правило, используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда
- - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
- 2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. при любом n.