Относительно ли бесконечность или абсолютная. Существует ли бесконечность в природе? Бесконечность, которой нет
Все люди знают это число и используют для описания чего-то непостижимо огромного. Однако бесконечность - не такое простое понятие, как кажется на первый взгляд.
1. Согласно правилам бесконечности, существует бесконечное число как чётных, так и нечётных чисел. Тем не менее, нечетных чисел будет ровно половина от общего количества чисел.
2. Бесконечность плюс единица равняется бесконечность, если отнять единицу - получаем бесконечность, сложив две бесконечности получим бесконечность, бесконечность, поделённая на два, равняется бесконечности, если вычесть бесконечность из бесконечности, то результат не вполне ясен, а вот бесконечность, поделённая на бесконечность, скорее всего, равняется единице.
3. Учёные определили, что в известной нам части Вселенной существует 1080 субатомных частиц - это та часть, которую исследовали. Многие учёные уверены, что Вселенная бесконечная, а учёные, которые скептически относятся к бесконечности Вселенной, в данном вопросе всё-таки допускают такую вероятность.
4. Если Вселенная бесконечна, то с математической точки зрения получается, что где-то находится точная копия нашей планеты, поскольку существует вероятность, что атомы «двойника» занимают такое же положение, как и на нашей планете. Шансы, что такой вариант существует, ничтожно малы, но в бесконечной Вселенной это не только возможно, но и обязательно должно произойти, и, по меньшей мере, бесконечное число раз, при условии, что Вселенная все-таки бесконечно бесконечна.
5. Однако не все уверены, что Вселенная бесконечна. Израильский математик, профессор Дорон Зельбергер, убеждён, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если прибавить к нему единицу, получится ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».
Как работает «мозгопочта» - передача сообщений от мозга к мозгу через интернет
10 тайн мира, которые наука, наконец, раскрыла
10 главных вопросов о Вселенной, ответы на которые учёные ищут прямо сейчас
8 вещей, которые не может объяснить наука
2500-летняя научная тайна: почему мы зеваем
3 самых глупых аргумента, которыми противники Теории эволюции оправдывают своё невежество Можно ли с помощью современных технологий реализовать способности супергероев?
Атом, люстр, нуктемерон, и ещё семь единиц времени, о которых вы не слышали
Согласно новой теории, параллельные вселенные могут существовать в действительности
Вконтакте
Существует ли бесконечность
Бесконечна ли Вселенная, и если - да, то «этого не может быть». А если нет, то что там по ту сторону? А кто любит сказки насчёт ограниченных многообразий без края, типа сферы, - пусть мысль пошлёт перпендикулярно краю. Что там? Или кто. Вымышленная бесконечность не так пронзительна, но тоже непостижима, местами. Георг Кантор. Сравнение бесконечностей. Континуум. На квадрате столько же точек, сколько на отрезке.
Испепеляющее жжение пространственной вечности шокирует до тех пор, пока проблемы Поднебесной воспринимаются нутром, а не умом. Потом пронизывающий зов «неисчерпаемости » помаленьку глохнет, и обжигаясь о реальность, человек прячется в выдуманном мире. Спрятаться хорошо всё равно не удаётся.
В мире идей бесконечность является в другом облике. В каком смысле существует натуральный ряд? Как разворачивающийся процесс или как завершившийся? Натуральные числа потенциально можно построить или они уже есть в наличии? Поначалу проблема
отдаёт схоластикой. Не все ли равно, казалось бы. Последствий-то никаких.
Последствия тем не менее грандиозные. В альтернативе получаются две разные математики. Одна – конструктивная, не допускающая осуществления бесконечности во всей её необъятности. Другая – обычная, всеядная.
Мелкие неприятности от присутствия бесконечности возникают уже в элементарных
ситуациях типа, где наличие взаимно однозначного соответствия n ↔ n^2 подталкивает к мысли, что целых чисел столько же, сколько их квадратов. Пример давно набил оскомину, но он в простейшей форме отражает наличие проблемы. Получается ведь, если Некто забирает у меня каждый день 10 рублей, а отдаёт – один, то, когда процесс закончится, мы будем квиты. Ибо, если ряд уже состоялся, n-й рубль мне был отдан в n-й день. Парадокс, конечно, не стоит выеденного яйца, потому что процесс никогда закончится, – думает пятиклассник.
А как быть с дробями p/q? Они все «уже есть» на отрезке . Они тут, их не надо добавлять одну за другой. Так что – «ловушка конечного размера для бесконечности ». Маленький
кошелёк, куда помещаются все дроби. А корень из двух, как состоявшаяся бесконечность, из-за бесконечности десятичной дроби. Поэтому у теории множеств есть все основания рассматривать бесконечность как «данность ». Другое дело что к этой данности предъявляются определённые требования, дабы не возникало противоречий.
Однако, как только что-либо признаёшь, начинаются хлопоты. Бесконечностей рой, и с
ними надо как-то управляться. Этим занялся Георг Кантор , создавший теорию множеств. Случившаяся революция подтверждает известный тезис «истина рождается как ересь и умирает как банальность ». Главные идеи сегодня доступны всем. А «тогда » невозможно
было объяснить никому. Интуиция противилась. Сейчас-то болезнь укоренилась, недоумение иссякло.
В основу изучения множеств Кантор положил инструмент взаимно-однозначного соответствия. Множества X, Y эквивалентны, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Отношение эквивалентности рефлексивно и транзитивно , что позволяет разбить все
множества на классы эквивалентности. Класс эквивалентности множества X называют его мощностью, и обозначают как |X|. Множества упорядочиваются по мощности с помощью естественного трюка.
Множества, эквивалентные натуральному ряду, называют счётными. Счётны любые последовательности. Рассмотрение десятичных дробей сталкивается с новым явлением. Множество таких чисел (континуум) оказывается несчётным.
Весьма болезненной была историческая попытка установить, что отрезок и квадрат х имеют разные мощности. Оказалось – одинаковые. Такой встряски мир не получал со времен Галилея, когда обнаружилось, что все тела падают с одинаковым
ускорением.
Как бы там ни было, бесконечность завоевала место под солнцем. Без неё в математике всё «стояло бы на месте». Да~оно и стоит – в конструктивной математике, куда не помещается – обыкновенная. Равенства и неравенства конструктивных чисел чаще всего не проверяются, последовательностям некуда сходиться, пределы не существуют, непрерывность только снится, и вообще всё рушится. Жуткая картина. Степень катастрофы даже трудно оценить. Поэтому бесконечность почти так же полезна как «единица». Другая сторона медали, как бы. Эдакое вместилище того, «чего не бывает».
Прежде чем ответить на ваш вопрос, позвольте мне вначале прояснить, что я думаю, это путаница. В формальной математике $infty$ не является числом.Причина, по которой математики не рассматривают $infty$ как число, состоит в том, что если бы мы это сделали, мы бы сделали некоторые выводы, которые явно ошибочны.
Например, одно из номеров свойств состоит в том, что вы можете вычесть одно и то же число с обеих сторон уравнения, и уравнение будет по-прежнему истинным. Например, я могу вычесть $1$ с обеих сторон уравнения $x+1=4$ , чтобы получить $x=3$ . С другой стороны, если я обрабатываю $infty$ как регулярное число и вычитаю $infty$ с обеих сторон «уравнения» $infty + 1 = \infty$ , я получаю $1=0$ , что явно ложно.
Вместо этого математики думают о $infty$ как limit . Грубо говоря, это означает, что если вы хотите «подключить» $infty$ к функции, вы подключаете больше и больше цифр и смотрите, что произойдет в долгосрочной перспективе. Например, мы пишем $lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$ to mean that "as you plug bigger and bigger numbers into the function $f (x) = 1/x$ , the function becomes arbitrarily close to zero." You should convince yourself that this particular limit is right. In some cases the limit is infinite; all this means is that, as you plug in bigger and bigger numbers into the function, the function becomes arbitrarily large. For example,
- $lim_{x to infty}x = infty$ .
- $lim_{x to infty}x^2 = infty$ .
To answer your question, pretty much anything can happen when $infty$ is involved. Let"s look at the two examples I just gave. Even though both functions $f (x) = x$ and $g (x) = x^2$ go to infinity as $x$ goes to infinity, the second one grows a lot faster. Case in point: $f (100) = 100$ and $g (100) = 10 , 000$ . In fact, $g (x)$ grows so much faster that the difference $g (x) - f (x)$ (remember that this is just $x^2-x$) also goes to infinity as $x$ goes to infinity. You can convince yourself of this by plugging in values. In symbols, $lim_{x\to\infty}(x^2 - x) = \infty.$ So informally speaking, it is possible that $infty- infty = infty$ !
If this result seems counter-intuitive to you, it is because you are thinking of the two infinities on the left hand side of the equation $infty- infty = infty$ as the same $infty$ : in fact, they are different. The first $infty$ comes from the function $g (x) = x^2$ , and in some sense it is bigger than the $infty$ from the function $f (x) = x$ since $x^2$ gets bigger a lot faster than $x$ does.
In any case, you can come up with other functions (that is to say, you can approach $infty$ at different speeds) that make the following statements true:
- $infty- infty$ can equal anything between $- infty$ and $+ infty$ .
- $infty/ infty$ can equal anything between $- infty$ and $+ infty$ .
- $infty^0$ can equal anything between $0$ and $+ infty$ .
Finally, there can be cases where plugging in $infty$ doesn"t give you any answer at all. If you took trigonometry you"re probably familiar with the sine function, whose graph oscillates back and forth, like a wave, between $-1$ and $+ 1$ . (I tried to put a picture of the graph of sine here, but I couldn"t get it to work since I"m new to this site. Just search "graph of sine" on Google images and you"ll see what I mean.) If you plug in larger and larger numbers into $sin (x)$ , you won"t approach any fixed number. So $sin infty$ не существует .
«То, что мы знаем, – ограниченно, а то, чего мы не знаем, – бесконечно»
Пьер-Симон Лаплас (1749-1827), французский ученый
Безграничная любовь, безмерное счастье, необъятный космос, вечная мерзлота, безбрежный океан и даже нескончаемый урок. В повседневной жизни мы часто называем вещи и явления бесконечными, но часто даже не задумываемся об истинном значении этого понятия. Между тем, с самых древних времён теологи, философы и другие величайшие умы человечества пытались понять её смысл. И только математики дальше всего продвинулись в знаниях о том, что называют бесконечностью.
Что такое бесконечность?
Многое из того, что мы видим вокруг себя, воспринимается нами как бесконечность, но на поверку оказываются вполне конечными вещами. Вот как иногда объясняют детям, насколько велика бесконечность: «Если на огромном пляже собирать по одной песчинке каждые сто лет, то чтобы собрать весь песок на пляже, понадобится вечность». Но на самом деле, количество песчинок не бесконечно. Физически их пересчитать невозможно, зато с уверенностью можно сказать, что их количество не превышает величины, равной отношению массы Земли к массе одной песчинки.
Или другой пример. Многие думают, если встать между двух зеркал, то отражение будет повторяться в обоих зеркалах, уходя вдаль, становясь все меньше и меньше, так что определить, где оно заканчивается, невозможно. Увы, это не бесконечность. Что происходит на самом деле? Ни одно зеркало не отражает 100% падающего на него света. Очень качественное зеркало способно отразить 99% света, но после 70 отражений из них останется только 50%, после 140 отражений – только 25% света и т. д., пока света не станет слишком мало. Вдобавок, большинство зеркал имеет искривления, поэтому многочисленные отражения, которые вы видите, в конце концов «скрываются за поворотом».
Давайте посмотрим, как математика трактует бесконечность. Это очень не похоже на те представления о бесконечности, с которыми вы сталкивались раньше и требует немного воображения.
Бесконечность в математике
В математике различают потенциальную и актуальную бесконечность.
Когда говорят о том, что некоторая величина бесконечнапотенциально, то имеют в виду, что она может быть неограниченно увеличена, то есть всегда имеется потенциальная возможность её наращивания.
Понятие актуальнойбесконечности означает бесконечную величину, которая уже реально существует «здесь и сейчас». Поясним это на примере обычной ПРЯМОЙ.
Пример 1.
Потенциальная бесконечность означает, что есть прямая и её можно непрерывно продолжать (например, прикладывая к ней отрезки). Обратите внимание, здесь делается акцент не на то, что прямая бесконечна, а на то, что её можно бесконечно продолжать.
Актуальная бесконечность означает, что в настоящем времени уже существует вся бесконечная прямая. Но беда в том, что ни один живой человек не видел бесконечной прямой и физически не в состоянии это сделать! Одно дело – иметь возможность бесконечно продлевать прямую, и совсем другое – в реальности создать бесконечную прямую. Это очень тонкое различие и отличает потенциальную бесконечность от актуальной. Уф! Чтобы разобраться с этими бесконечностями, требуется большое воображение! Давайте рассмотрим ещё один пример.
Пример 2.
Предположим, вы решили построить ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…
В какой-то момент вы дошли до очень большого числа n и считаете, что это самое большое число. В этот момент ваш друг говорит, что ему ничего не стоит к вашему числу n добавить 1 (единицу) и получить еще бóльшее число k = n + 1. Тогда вы, слегка уязвлённый, понимаете, что и вам ничего не может помешать добавить к числу k единицу и получить число k+1. Ограничено ли заранее число таких шагов? Нет. Конечно, у вас с другом может не хватить сил, времени на каком-то шаге m для того, чтобы сделать следующий шаг m + 1, но потенциально вы или кто-то другой может дальше строить этот ряд. В этом случае мы получаем понятие потенциальной бесконечности.
Если же вам с другом удастся построить бесконечный ряд натуральных чисел, элементы которого присутствуют все сразу, одновременно, это будет актуальной бесконечностью. Но дело в том, что никто не может записать все числа, – это неоспоримый факт!
Согласитесь, что потенциальная бесконечность для нас более понятна, потому что её легче вообразить. Поэтому античные философы и математики признавали только потенциальную бесконечность, решительно отвергая возможность оперировать с актуальной бесконечностью.
Парадокс Галилея
В 1638 году великий Галилей задался вопросом: «Бесконечно много – это всегда одинаково бесконечно много? Или могут быть бóльшие и мéньшие бесконечности?»
Он сформулировал постулат, который впоследствии получил название «Парадокс Галилея»: Натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…
Суть парадокса заключается в следующем.
Некоторые числа являются точными квадратами(то есть квадратами других чисел), например: 1, 4, 9… Другие же числа не являются точными квадратами, например 2, 3, 5... Значит, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. Верно? Верно.
Но с другой стороны: для каждого числа найдётся его точный квадрат, и наоборот – для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. Верно? Верно.
Рассуждения Галилея вступили в противоречие с неоспоримой аксиомой, утверждающей, что целое больше любой из своих собственных частей. Он не смог ответить, какая бесконечность больше – первая или вторая. Галилей полагал, что, либо он в чём-то ошибался, либо такие сравнения не применимы для бесконечностей. В последнем он был прав, поскольку три столетия спустя, Георг Кантор доказал, что «арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».
Счётные бесконечности: часть равна целому
Георг Кантор (1845-1918), основоположник теории множеств, стал использовать в математике актуальную бесконечность. Он допускал, что бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные множества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математические манипуляции и даже сравнивать. Поскольку слова «число» и «количество» в случае с бесконечностями неуместны, он ввел термин «мощность». За эталон Кантор взял бесконечные натуральные числа, которых хватит для пересчёта чего угодно, назвал это множество счётным, а его мощность – мощностью счётного множества и стал сравнивать её с мощностями других множеств.
Он доказал, что множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество чётных чисел! Действительно, запишем друг под другом:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...
На первый взгляд кажется очевидным, что в первом множестве чисел в два раза больше, чем во втором. Но, с другой стороны, ясно, что вторая последовательность тоже счётна, так как любому её числу ВСЕГДА соответствует строго одно число первой последовательности. И наоборот! Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. Следовательно, эти множества равномощны! Аналогично доказывается, что множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилея) – счётно и равномощно множеству натуральных чисел. Отсюда следует, что все счётные бесконечности равномощны.
Получается очень интересно: Множество чётных чисел и множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилея) – являются частью множества натуральных чисел. Но при этом они равномощны. Следовательно, ЧАСТЬ РАВНА ЦЕЛОМУ!
Несчётные бесконечности
Но не всякую бесконечность можно пересчитать так, как это сделали мы с чётными числами и квадратами натуральных чисел. Оказывается, нельзя пересчитать точки на отрезке, действительные числа (выражающиеся всеми конечными и бесконечными десятичными дробями), даже все действительные числа от 0 до 1. В математике говорят, что их количество несчётно.
Рассмотрим это на примере последовательности дробных чисел. Дробные числа обладают свойством, которое отсутствует у целых чисел. Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Например, между 8 и 9 «не поместится» никакое другое целое число. Но если мы добавим к множеству целых чисел дробные числа, это правило перестанет выполняться. Так, число
будет находиться между 8 и 9. Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми двумя числами А и В:
Поскольку это действие можно повторять бесконечно, можно утверждать, что между двумя любыми действительными числами всегда будет располагаться бесконечно много других действительных чисел.
Таким образом, бесконечность действительных чисел является несчётной, а бесконечность натуральных чисел – счётной. Эти бесконечности неэквивалентны, но из несчётного множества действительных чисел всегда можно выделить счётную часть, например, натуральные или чётные числа. Поэтому несчётная бесконечность мощнее счётной бесконечности.